If $f (x) = x^{2} + a x + b$ and f(1) = 0, f(3) = 0, find f(- 1) .

Created: 2 months ago | Updated: 2 months ago

Updated: 2 months ago

ক

4
খ

6
গ

৪
ঘ

10

ব্যাখ্যাঃ বিস্তারিত সমাধান:

দেওয়া আছে, ফাংশনটি হলো $f(x) = x^2 + ax + b$।

প্রথম শর্ত অনুযায়ী, $f(1) = 0$। আমরা $x=1$ বসিয়ে পাই:

$1^2 + a(1) + b = 0$

$1 + a + b = 0$

$a + b = -1$ (সমীকরণ ১)

দ্বিতীয় শর্ত অনুযায়ী, $f(3) = 0$। আমরা $x=3$ বসিয়ে পাই:

$3^2 + a(3) + b = 0$

$9 + 3a + b = 0$

$3a + b = -9$ (সমীকরণ ২)

এখন, সমীকরণ (২) থেকে সমীকরণ (১) বিয়োগ করে পাই:

$(3a + b) - (a + b) = -9 - (-1)$

$3a + b - a - b = -9 + 1$

$2a = -8$

$a = - \frac{8}{2}$

$a = -4$

$a$ এর মান সমীকরণ (১) এ বসিয়ে পাই:

$-4 + b = -1$

$b = -1 + 4$

$b = 3$

সুতরাং, $a = -4$ এবং $b = 3$।

ফাংশনটি হলো $f(x) = x^2 - 4x + 3$।

এখন, $f(-1)$ এর মান নির্ণয় করি। ফাংশনে $x = -1$ বসিয়ে পাই:

$f(-1) = (-1)^2 - 4(-1) + 3$

$f(-1) = 1 + 4 + 3$

$f(-1) = 8$

অতএব, $f(-1) = 8$।

💡 শর্টকাট টেকনিক:

যদি একটি দ্বিঘাত ফাংশন $f(x) = Ax^2 + Bx + C$ হয় এবং $r_1, r_2$ এর দুটি মূল হয়, তাহলে ফাংশনটিকে $f(x) = A(x-r_1)(x-r_2)$ আকারে লেখা যায়।

এখানে দেওয়া আছে $f(1) = 0$ এবং $f(3) = 0$, এর অর্থ হলো 1 এবং 3 ফাংশনটির মূল (roots)।

সুতরাং, ফাংশনটিকে $f(x) = k(x-1)(x-3)$ আকারে লেখা যেতে পারে।

প্রদত্ত ফাংশনটি হলো $f(x) = x^2 + ax + b$। এখানে $x^2$ এর সহগ 1। তাই $k=1$।

সুতরাং, $f(x) = (x-1)(x-3)$

$f(x) = x^2 - 3x - x + 3$

$f(x) = x^2 - 4x + 3$

এখন, $f(-1)$ এর মান নির্ণয় করি। ফাংশনে $x = -1$ বসিয়ে পাই:

$f(-1) = (-1)^2 - 4(-1) + 3$

$f(-1) = 1 + 4 + 3$

$f(-1) = 8$

অতএব, $f(-1) = 8$।

Azizar Rahman Aziz

1 month ago

MCQ: 6 CQ: 8

Practice

মূল ও সহগ সম্পর্ক

মূল ও সহগ সম্পর্ক (Relation Between Roots and Coefficients)

বহুপদী সমীকরণের মূল এবং সহগের মধ্যে নির্দিষ্ট সম্পর্ককে মূল ও সহগ সম্পর্ক বলা হয়। এই সম্পর্কের মাধ্যমে সমীকরণের মূল নির্ণয়, নতুন সমীকরণ গঠন এবং বিভিন্ন গাণিতিক সমস্যা সমাধান করা যায়।

দ্বিঘাত সমীকরণের মূল ও সহগ সম্পর্ক

সাধারণ দ্বিঘাত সমীকরণ:

$a x^{2} + b x + c = 0$

যেখানে a ≠ 0 এবং সমীকরণের মূলদ্বয় α ও β।

মূলদ্বয়ের যোগফল

$α + β = \frac{- b}{a}$

মূলদ্বয়ের গুণফল

$α β = \frac{c}{a}$

মূল দ্বারা সমীকরণ গঠন

যদি মূলদ্বয় α এবং β হয়, তবে সমীকরণ হবে:

$x^{2} - (α + β) x + α β = 0$

উদাহরণ

সমীকরণ:

$2 x^{2} - 5 x + 3 = 0$

এখানে,

$α + β = \frac{5}{2}$

এবং

$α β = \frac{3}{2}$

ত্রিঘাত সমীকরণের মূল ও সহগ সম্পর্ক

সাধারণ ত্রিঘাত সমীকরণ:

$a x^{3} + b x^{2} + c x + d = 0$

সমীকরণের মূলত্রয় α, β ও γ হলে,

মূলত্রয়ের যোগফল

$α + β + γ = \frac{- b}{a}$

দুইটি মূলের গুণফলের সমষ্টি

$αβ + βγ + γα = \frac{c}{a}$

মূলত্রয়ের গুণফল

$αβγ = \frac{- d}{a}$

n ঘাত সমীকরণের মূল ও সহগ সম্পর্ক

যদি,

$a_{0} x^{n} + a_{1} x^{n - 1} + ... + a_{n} = 0$

এবং মূলগুলো α₁, α₂, ..., αₙ হয়, তবে

সমস্ত মূলের যোগফল

$\sum α_{1} = \frac{- a_{1}}{a_{0}}$

দুইটি মূলের গুণফলের সমষ্টি

$\sum α_{1} α_{2} = \frac{a_{2}}{a_{0}}$

সব মূলের গুণফল

$α_{1} α_{2} ... α_{n} = {(- 1)}^{n} \times \frac{a_{n}}{a_{0}}$

গুরুত্বপূর্ণ তথ্য

মূলের যোগফল সবসময় x এর সহগের বিপরীত চিহ্নযুক্ত হয়
মূলের গুণফল ধ্রুবক পদের সাথে সম্পর্কিত
মূল জানা থাকলে সহজেই সমীকরণ গঠন করা যায়
সহগ জানা থাকলে মূলের বিভিন্ন সম্পর্ক নির্ণয় করা যায়

মনে রাখার উপায়

দ্বিঘাত সমীকরণে:

$α + β = \frac{- b}{a}$

এবং

$α β = \frac{c}{a}$

— এই দুটি সূত্র সবচেয়ে গুরুত্বপূর্ণ।

Notification

If $f (x) = x^{2} + a x + b$ and f(1) = 0, f(3) = 0, find f(- 1) .

Related Question

Related Question

Question Analytics

Promotion

Notification

If f(x)=x2+ax+b and f(1) = 0, f(3) = 0, find f(- 1) .

Related Question

Related Question

Question Analytics

Promotion

If $f (x) = x^{2} + a x + b$ and f(1) = 0, f(3) = 0, find f(- 1) .